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# 处处连续、处处不可微的经典反例

“处处连续但（处处）不可微”这一命题本身是成立的，下面给出三个经典构造，逐一说明其连续性与不可微性。

一、Weierstrass 函数

定义：W(x) = Σ aⁿ cos(bⁿπx)，其中 0<a<1，b 为奇数且 ab > 1 + 3π/2。

• 连续性：每一项 |aⁿcos(bⁿπx)| ≤ aⁿ，而 Σaⁿ 是收敛的几何级数，由 Weierstrass M-判别法，级数在 ℝ 上一致收敛。连续函数的一致收敛极限仍连续，故 W 处处连续。
• 不可微性：任取点 x，用形如 x±h（h = b⁻ⁿ 量级）的差商，利用 cos 的振荡性可构造两列差商，其极限分别趋于符号相反的无穷大量，因此差商极限不存在，导数处处不存在。

二、Takagi（白雪公主/Blancmange）函数

定义：T(x) = Σ 2⁻ⁿ φ(2ⁿx)，其中 φ(x) = dist(x, ℤ) 为到最近整数的距离。

• 连续性：|2⁻ⁿφ(2ⁿx)| ≤ 2⁻ⁿ，且 φ 一致连续，级数一致收敛，故 T 连续。
• 不可微性：在任意点 x 处，取 hₙ = ±2⁻ⁿ（选择符号使 x 与 x+hₙ 落在同一个“二分区间”内），可证明差商 [T(x+hₙ)−T(x)]/hₙ 中，第 k<n 项贡献相同符号、逐项累积，其值随 n 单调增大且无界，故差商极限不存在。

三、Riemann “病态函数”（部分点可微版本的修正式）

定义：R(x) = Σ sin(n²x)/n²。

• 连续性：通项 |sin(n²x)/n²| ≤ 1/n²，级数绝对且一致收敛，故 R 处处连续。
• 不可微性：原始 Riemann 猜想“处处不可微”后来被证明不完全对（Gerver 证明在某些有理倍数点如 x = π/2 处可微）。修正方法：加扰动，构造 R(x) + Weierstrass 型级数（如 Σ 2⁻ⁿ sin(bⁿx)，b 充分大），使扰动部分处处不可微且“吞掉”原函数可能存在的可微点，得处处不可微函数。这提示：验证“处处”性质时，逐点分析的例外情形必须处理。

共同要点

• 连续性来自一致收敛：用 M-判别法控制级数尾部。
• 不可微来自跨尺度的自相似振荡：差商在每个尺度上都翻倍/振荡，导致极限发散。
• 这类函数的图具有分形特征（处处连续曲线但维数 > 1），直观上“处处有皱褶”。